Loading...
 

Zasada Fermata

Zasadę Fermata formułujemy w następujący sposób:


Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo maksimum czasu.


Zasada ta wyjaśnia prostoliniowy bieg światła w ośrodku jednorodnym bo linia prosta odpowiada minimum drogi, a tym samym i minimum czasu. Właśnie z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania.

Na Rys. 1 poniżej są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB, który odbija się od powierzchni granicznej w punkcie P.

: Promień wychodzący z punktu A po odbiciu w punkcie P trafia do punktu B
Rysunek 1: Promień wychodzący z punktu A po odbiciu w punkcie P trafia do punktu B


Całkowita długość drogi promienia wynosi

\( \begin{equation}{l=\sqrt{a^{{2}}+x^{{2}}}+\sqrt{b^{{2}}+(d-x)^{{2}}}}\end{equation} \)


gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia).

Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną \( x \)) wybieramy tak, żeby czas przebycia drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza to warunek

\( \begin{equation}{\frac{\mathit{dl}}{\mathit{dx}}=0}\end{equation} \)


więc otrzymujemy

\( \begin{equation}{\frac{\mathit{dl}}{\mathit{dx}}=\frac{1}{2}(a^{{2}}+x^{{2}})^{{-1/2}}2x+\frac{1}{2}[b^{{2}}+(d-x)^{{2}}]^{{-1/2}}2(d-x)(-1)=0}\end{equation} \)


a po przekształceniu

\( \begin{equation}{\frac{x}{\sqrt{a^{{2}}+x^{{2}}}}=\frac{d-x}{\sqrt{b^{{2}}+(d-x)^{{2}}}}}\end{equation} \)


Porównując z Rys. 1 widzimy, że jest to równoważne zapisowi

\( \begin{equation}{\text{sin}\alpha _{{1}}=\text{sin}\alpha _{{2}}}\end{equation} \)

\( \begin{equation}{\alpha _{{1}}=\alpha _{{2}}}\end{equation} \)


co wyraża prawo odbicia.

Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację przedstawioną na Rys. 2.

: Promień wychodzący z punktu A po załamaniu w punkcie P na granicy ośrodków trafia do punktu B
Rysunek 2: Promień wychodzący z punktu A po załamaniu w punkcie P na granicy ośrodków trafia do punktu B


Czas przelotu z A do B przez punkt P jest dany jest wzorem

\( \begin{equation}{t=\frac{l_{{1}}}{v_{{1}}}+\frac{l_{{2}}}{v_{{2}}}}\end{equation} \)



Uwzględniając, że \( n = c/v \) możemy przepisać to równanie w postaci

\( \begin{equation}{t=\frac{n_{{1}}l_{{1}}+n_{{2}}l_{{2}}}{c}=\frac{l}{c}}\end{equation} \)


Wyrażenie w liczniku \( {l=n_{{1}}l_{{1}}+n_{{2}}l_{{2}}} \) jest drogą optyczną promienia. Ponownie dobieramy zmienną x (położenie punktu P), tak aby droga l była minimalna czyli, aby \( dl/dx \) = 0. Ponieważ droga optyczna jest równa

\( \begin{equation}{l=n_{{1}}l_{{1}}+n_{{2}}l_{{2}}=n_{{1}}\sqrt{a^{{2}}+x^{{2}}}+n_{{2}}\sqrt{b^{{2}}+(d-x)^{{2}}}}\end{equation} \)


więc otrzymujemy

\( \begin{equation}{\frac{\mathit{dl}}{\mathit{dx}}=\frac{1}{2}n_{{1}}(a^{{2}}+x^{{2}})^{{-1/2}}2x+\frac{1}{2}n_{{2}}[b^{{2}}+(d-x)^{{2}}]^{{-1/2}}2(d-x)(-1)=0}\end{equation} \)


a po przekształceniu

\( \begin{equation}{n_{{1}}\frac{x}{\sqrt{a^{{2}}+x^{{2}}}}=n_{{2}}\frac{d-x}{\sqrt{b^{{2}}+(d-x)^{{2}}}}}\end{equation} \)


Porównując ten wynik z Rys. 2 otrzymujemy

\( \begin{equation}{n_{{1}}\text{sin}\alpha =n_{{2}}\text{sin}\beta }\end{equation} \)


co jest prawem załamania.


Ostatnio zmieniona Środa 29 z Październik, 2014 13:18:22 UTC Autor: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Czy masz już hasło?

Hasło powinno mieć przynajmniej 8 znaków, litery i cyfry oraz co najmniej jeden znak specjalny.

Przypominanie hasła

Wprowadź swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Ci informację o nowym haśle.
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
Wprowadzone hasło/login są błędne.