Loading...
 

Wyprowadzenie prawa Ohma

Nośnikami ładunku w metalu są poruszające się swobodnie (nie związane z poszczególnymi atomami) elektrony, tak zwane elektrony przewodnictwa. Bez pola elektrycznego elektrony poruszają się (dzięki energii cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach i dlatego nie obserwujemy przepływu prądu. Elektrony swobodne zderzają się z atomami (jonami) przewodnika, zmieniając swoją prędkość i kierunek ruchu zupełnie tak, jak cząsteczki gazu zamknięte w zbiorniku. Dlatego, podobnie jak w przypadku gazu, do opisu zderzeń posłużymy się pojęciem średniej drogi swobodnej \( \lambda \) (droga przebywana przez elektron pomiędzy kolejnymi zderzeniami). Jeżeli u jest prędkością ruchu chaotycznego elektronów to średni czas pomiędzy zderzeniami wynosi \( \Delta t = \lambda /u \).

Jeżeli do przewodnika przyłożymy napięcie, to na każdy elektron będzie działała siła \( \mathbf{F} = -e\mathbf{E} \) i po czasie \( \Delta t \) ruch chaotyczny każdego elektronu zostanie zmodyfikowany; elektron uzyska prędkość unoszenia \( v_{u}= \Delta u \). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona

\( \begin{equation}{m\frac{\mathit{\Delta u}}{\mathit{\Delta t}}={eE}}\end{equation} \)


a stąd

\( \begin{equation}{\mathit{\Delta u}=v_{{u}}=\frac{{eE}\mathit{\Delta t}}{m}}\end{equation} \)


Podstawiając za \( \Delta t = \lambda /u \), otrzymujemy

\( \begin{equation}{v_{{u}}=\frac{\mathit{e\lambda E}}{{mu}}}\end{equation} \)


Prędkość unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do \( \mathbf{E} \)) dla wszystkich elektronów. Przy każdym zderzeniu z atomem elektron traci prędkość unoszenia. Średnia droga swobodna \( \lambda \) jest tak mała, że \( v_{u} \) jest zawsze dużo mniejsza od \( u \).

Możemy teraz obliczyć natężenie prądu, wstawiając za prędkość wyrażenie ( 3 ) do wzoru Natężenie prądu elektrycznego-( 5 )

\( \begin{equation}{I={nSe}v_{{u}}=\frac{{ne}^{{2}}\lambda{SE}}{{mu}}}\end{equation} \)


Natomiast opór elementu przewodnika o długości \( l \) wyznaczamy z prawa Ohma, korzystając z faktu, że napięcie \( U = El \).

\( \begin{equation}{R=\frac{U}{I}=\frac{{El}}{I}=\frac{{mu}}{{ne}^{{2}}\lambda}\frac{l}{S}}\end{equation} \)


Widzimy, że opór \( R \) jest proporcjonalny do długości przewodnika \( l \) i odwrotnie proporcjonalny do jego przekroju \( S \). Równanie ( 5 ) możemy przepisać w postaci

\( \begin{equation}{R=\rho \frac{l}{S}}\end{equation} \)


Stałą \( \rho \) nazywamy oporem właściwym (rezystywnością), a jej odwrotność \( \sigma \) = 1/ \( \rho \) przewodnością właściwą.

Z równania ( 5 ) wynika, że opór właściwy pozostaje stały tak długo, jak długo stała jest prędkość \( u \). Przypomnijmy sobie (zob. Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego), że prędkość ruchu przypadkowego cząsteczek zależy tylko od temperatury. Tym samym opór właściwy też zależy od temperatury.


Ostatnio zmieniona Piątek 28 z Listopad, 2014 10:46:39 UTC Autor: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Czy masz już hasło?

Hasło powinno mieć przynajmniej 8 znaków, litery i cyfry oraz co najmniej jeden znak specjalny.

Przypominanie hasła

Wprowadź swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Ci informację o nowym haśle.
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
Wprowadzone hasło/login są błędne.