Loading...
 

Rzut ukośny

Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się po torze krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie prędkości i położenia rzuconego ciała w dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu.

Jeżeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym \( {\bf g}=(0, -g) \) ; możemy więc zastosować równania z w module Ruch na płaszczyźnie. Ponieważ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ współrzędnych tak, że \( x \) będzie współrzędną poziomą, a \( y \) pionową. Ponadto, przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. \( r_{0} \) = 0 oraz, że prędkość w chwili początkowej \( t=0 \) jest równa \( v_{0} \) i tworzy kąt \( \theta \) z dodatnim kierunkiem osi \( x \) (Rys. 1 poniżej).

Składowe prędkości początkowej
Rysunek 1: Składowe prędkości początkowej


Składowe prędkości początkowej (zgodnie z Rys. 1) wynoszą odpowiednio

(1)
\( \begin{equation}\begin{matrix}{v_{{\mathit{x0}}}=v_{{0}}\cos\theta }\\v_{{\mathit{y0}}}=v_{{0}}\sin\theta \end{matrix} \end{equation} \)


Stąd dla składowej \( x \) (poziomej) prędkości otrzymujemy (porównaj z w module Ruch na płaszczyźnie )

(2)
\( \begin{equation}{v_{{x}}=v_{{\mathit{x0}}}+g_{{x}}t}\end{equation} \)


Ponieważ \( g_{x}= 0 \) (przyspieszenie jest skierowane w "dół") więc

(3)
\( \begin{equation}{v_{{x}}=v_{{0}}\cos\theta }\end{equation} \)


Składowa pozioma prędkości jest stała, ruch w kierunku \( x \) jest jednostajny. Natomiast dla składowej pionowej \( y \) otrzymujemy

(4)
\( \begin{equation}{v_{{y}}=v_{{\mathit{y0}}}+g_{{y}}t}\end{equation} \)


Ponieważ \( g_{y}=-g \) (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc

(5)
\( \begin{equation}{v_{{y}}=v_{{0}}\sin\theta -gt}\end{equation} \)


Wartość wektora prędkości w dowolnej chwili wynosi

(6)
\( \begin{equation}{v=\sqrt{v_{{x}}{{^2}}+v_{{y}}{{^2}}}}\end{equation} \)
\( \begin{equation}{v=\sqrt{v_{{0}}{{^2}}-2v_{{0}}gt\sin\theta+g{{^2}}t{{^2}}}}\end{equation} \)


Teraz obliczamy położenie ciała w dowolnej chwili \( t \). Ponownie korzystamy z równań z i otrzymujemy odpowiednio

\( \begin{equation}{x=\left(v_{{0}}\cos\theta \right)\;t}\end{equation} \)
\( {y=\left(v_{{0}}\sin\theta\right)\;t-\frac{gt^{{2}}}{2}} \)


Wartość wektora położenia w dowolnej chwili obliczamy z zależności

(10)
\( \begin{equation}{r=\sqrt{x^{{2}}+y{{^2}}}}\end{equation} \)


Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej \( y(x) \). Równania ( 8 ), ( 9 ) przedstawiają zależność \( x(t) \) oraz \( y(t) \). Równanie \( y(x) \) możemy więc obliczyć eliminując czas \( t \) z tych równań. Z zależności \( x(t) \) obliczamy \( t \), a następnie wstawiamy do równania \( y(t) \), które przyjmuje postać

\( \begin{equation}{y=(tg\theta)\;x-\frac{g}{2(v_{{0}}\cos\theta)^{{2}}}\;x^{{2}}}\end{equation} \)


Otrzymaliśmy równanie paraboli (skierowanej ramionami w dół) i taki kształt ma tor ruchu \( y(x) \) pokazany na rysunku poniżej.

Parabola rzutu ukośnego
Rysunek 2: Parabola rzutu ukośnego

Zadanie 1: Zasięg rzutu

Treść zadania:
Korzystając z równania ( 11 ) spróbuj znaleźć zasięg rzutu z oraz określić kąt wyrzutu \( \theta \), przy którym zasięg jest maksymalny.

Wskazówka: Rozwiąż równanie ( 11 ) podstawiając \( y=0 \). Otrzymasz dwa miejsca, w których parabola lotu przecina oś \( x \). Pierwsze, odpowiada punktowi z którego wylatuje ciało, drugie poszukiwanemu zasięgowi rzutu. Wynik zapisz poniżej.
Zasięg rzutu:
Zasięg maksymalny otrzymujemy dla kąta \( \theta = \)


Gdy mówimy o ruchu prostoliniowym to ewentualne przyspieszenie ciała związane jest ze zmianą wartości prędkości ale nie ze zmianą jej kierunku czy zwrotu. Dlatego mówimy wtedy o przyspieszeniu stycznym

W omawianym rzucie ukośnym zmienia się zarówno wartości prędkości jak i jej kierunek i zwrot. Zanim jednak omówimy ten przypadek zaczniemy od rozpatrzenia prostszej sytuacji gdy wartość prędkości się nie zmienia, a zmienia się jej kierunek i zwrot tj. Ruch jednostajny po okręgu.

Symulacja 1: Rzut ukośny

Pobierz symulację

Program przedstawia prezentację graficzną rzutu ukośnego, pozwalając prześledzić ruch punktu materialnego w zależności od wartości prędkości początkowej oraz kąta wyrzutu. W trakcie ruchu można śledzić prędkość chwilową oraz jej składowe albo przyspieszenie i jego składowe.

Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski

Symulacja 2: Rzut ukośny

Pobierz symulację

Strzelaj z armaty różnymi obiektami. Ustaw kąt, prędkość początkową i masę. Wprowadź opór powietrza. Spróbuj trafić w cel.

Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado(external link)

Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States(external link)


Ostatnio zmieniona Piątek 11 z Grudzień, 2015 11:48:31 UTC Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Czy masz już hasło?

Hasło powinno mieć przynajmniej 8 znaków, litery i cyfry oraz co najmniej jeden znak specjalny.

Przypominanie hasła

Wprowadź swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Ci informację o nowym haśle.
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
Wprowadzone hasło/login są błędne.