Loading...
 
Ciągi liczbowe
Pod redakcją:Vsevolod Vladimirov
Autorzy:Katarzyna Czyżewska
Afiliacja autorów:AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Matematyki Stosowanej
Wydawca:Akademia Górniczo-Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie
Data publikacji:2017
Recenzenci:Array
ISBN:978-83-952566-0-8

Dla kolejnych rozważań zakładamy, że ciąg \( (a_n) \) jest nieskończony. Zastanówmy się, jak zachowują się wyrazy ciągu \( (a_n) \), jeżeli \( n \) jest coraz większe, czyli mówimy, że \( n \) zmierza do nieskończoności. Na Rys. 1 widzimy ciąg o wyrazach dodatnich, którego wyrazy, wraz ze wzrostem wartości \( n \), coraz bardziej zbliżają się do liczby zero, nigdy tej wartości nie osiągając. Jeżeli jednak wybierzemy liczbę \( \varepsilon \gt 0 \), dowolnie bliską zeru, to nieskończenie wiele wyrazów ciągu leży w przedziale \( \lbrack - \varepsilon, \varepsilon\rbrack \).

Granica właściwa ciągu
Rysunek 1: Granica właściwa ciągu


Mówimy, że ciąg nieskończony \( (a_n) \) ma granicę właściwą \( g \), jeżeli dla dowolnej liczby \( \varepsilon \gt 0 \) od pewnego miejsca zachodzi warunek \( |a_n-g| \lt \varepsilon \).


Komentarz
W wielu sytuacjach warto wiedzieć czy wyrazy rozważanego ciągu mają tendencję do skupiania się wokół jakiejś liczby. Gdyby rzeczywiście tak było, to znajomość tej liczby pozwala „zlokalizować” nasz ciąg na osi. Oznacza to, że prawie wszystkie, poza skończoną ilością, wyrazy naszego ciągu leżą w pobliżu danej liczby, którą nazywamy granicą ciągu. Fakt, że liczba \( g \) jest granicą właściwą ciągu \( (a_n) \) oznacza więc, że prawie wszystkie (tzn. wszystkie od pewnego miejsca) wyrazy ciągu leżą w przedziale \( (g-\varepsilon,g+\varepsilon) \), a ponieważ \( \varepsilon \) może być dowolnie małe, tak więc dowolnie blisko liczby \( g \) znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu \( (a_n) \)


Fakt, że liczba \( g \) jest granicą właściwą ciągu \( (a_n) \) oznaczamy symbolicznie \( \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g \) i mówimy, że ciąg \( (a_n) \) jest zbieżny do liczby \( g \) przy \( n \) zmierzającym do nieskończoności.


Pojęcie granicy ciągu możemy zdefiniować formalnie
\( \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g \hspace{1em} \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } \hspace{1em} \forall \varepsilon \gt 0 \hspace{1em} \exists n_0 \in \mathbb{N} \hspace{1em} \forall n \geqslant n_0 \hspace{1em} |a_n-g|\lt \varepsilon \)

Pokaż, że \( \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}= 0 \), \( \lim_{n\rightarrow\infty}(- \frac{1}{n}) = 0 \), \( \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{ (-1)^n }{n}= 0 \)

Rozwiązanie:

Aby wykazać, że liczba \( 0 \) jest granicą ciągu \( (a_n) \) weźmiemy dowolną liczbę \( \varepsilon \gt 0 \) i wykażemy, że uda się znaleźć taką liczbę naturalną \( n_0 \), że dla wszystkich \( n \geqslant n_0 \) zachodzi nierówność \( |a_n-0| < \varepsilon \).

Zauważamy, że zachodzą ograniczenia \( | \frac{1}{n}-0|=|- \frac{1}{n}-0|=| \frac{(-1)^n}{n}-0|= \frac{1}{n} \lt \varepsilon \) dla \( n\gt \frac{1}{\varepsilon} \)
czyli, gdyby liczba \( \frac{1}{\varepsilon} \) była liczbą naturalną, to można byłoby przyjąć \( n_0=\frac{1}{\varepsilon} \), ale ponieważ, z reguły, nie jest to liczba naturalna, to przyjmujemy \( n_0 = \lbrack \frac{1}{\varepsilon}\rbrack + 1 \), gdzie \( [x] \) oznacza część całkowitą z liczby rzeczywistej \( x \). Dla tak dobranego \( n_0 \) i dowolnej liczby \( n \geqslant n_0 \) zachodzi wtedy nierówność \( \frac{1}{n} \lt \varepsilon \) , czyli \( |a_n-0| \lt \varepsilon \), a to właśnie mieliśmy wykazać.


Wykaż, że \( \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n^k}= 0 \) dla dowolnego \( k \gt 0 \).

Rozwiązanie:

Dla dowolnie wybranego \( \varepsilon \gt 0 \) mamy znaleźć \( n_0 \in \mathbb{N} \) spełniające warunek \( | \frac{1}{n^k} -0| \lt \varepsilon \) dla \( n \geqslant n_0 \) i \( k \gt 0 \).

Zauważamy, że \( | \frac{1}{n^k} -0| \lt \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n^k} \lt \varepsilon \Leftrightarrow n^k \gt \varepsilon \Leftrightarrow n \gt \root k \of {\frac{1}{\varepsilon}}. \)

Jeżeli weźmiemy \( n_0 = \Big[ \root k \of {\frac{1}{\varepsilon}} \Big] +1 \in \mathbb{N} \) , to \( n_0 \gt \root k \of {\frac{1}{\varepsilon}} \), a co za tym idzie \( | \frac{1}{n^k} -0| \lt \varepsilon \) dla \( n \geqslant n_0 \).

Granica niewłaściwa ciągu
Rysunek 2: Granica niewłaściwa ciągu


Zauważamy, że ciągi z Rys. 2 zachowują się, przy \( n \) zmierzającym do nieskończoności, inaczej niż ciąg zbieżny do pewnej granicy \( g \). Jeżeli wybierzemy dowolnie dużą liczbę \( E>0 \), to nieskończenie wiele wyrazów ciągu pierwszego jest większych od liczby \( E \), oraz nieskończenie wiele wyrazów ciągu drugiego jest mniejszych od liczby \( -E \). Z dowolności wyboru liczby \( E \) wnioskujemy, że wyrazy żadnego z obydwu ciągów nie lokalizują się w pobliżu żadnej liczby rzeczywistej. Mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do \( + \infty \), w pierwszym przypadku, albo do \( - \infty \), w drugim przypadku.


Mówimy, że ciąg \( (a_n) \) ma granicę niewłaściwą \( + \infty \), jeżeli dla dowolnej liczby \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierówność \( a_n> E \).

Mówimy, że ciąg \( (a_n) \) ma granicę niewłaściwą \( - \infty \), jeżeli dla dowolnej liczby \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierównośc \( a_n<-E \).



Fakt, że ciąg \( (a_n) \) ma granicę niewłaściwą \( + \infty \) oznaczamy \( \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+ \infty \) i mówimy, że ciąg \( (a_n) \) jest rozbieżny do \( + \infty \).

Fakt, że ciąg \( (a_n) \) ma granicę niewłaściwą \( - \infty \) oznaczamy \( \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=- \infty \) i mówimy, że ciąg \( (a_n) \) jest rozbieżny do \( - \infty \).
Definicję granicy niewłaściwej \( + \infty \) możemy zapisać symbolicznie

\( \lim_{n \rightarrow \infty} a_n=+ \infty \hspace{1em} \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } \hspace{1em} \forall E>0 \hspace{1em} \exists n_0 \in \mathbb{N} \hspace{1em} \forall n \geqslant n_0 (a_n>E) \)

a granicy niewłaściwej \( - \infty \)

\( \lim_{n \rightarrow \infty} a_n=- \infty \hspace{1em} \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } \hspace{1em} \forall E>0 \hspace{1em} \exists n_0 \in \mathbb{N} \hspace{1em} \forall n \geqslant n_0 (a_n<-E) \)

Pokaż, że \( \lim_{n \rightarrow \infty}⁡n = + \infty , \lim_{n \rightarrow \infty}(-⁡n) = - \infty. \)

Rozwiązanie:

Aby wykazać, że \( + \infty \) jest granicą niewłaściwą ciągu \( (a_n) \) weźmiemy dowolną liczbę \( E>0 \) i wykażemy, że uda się znaleźć taką liczbę naturalną \( n_0 \), że dla wszystkich \( n \geqslant n_0 \) zachodzi nierówność \( a_n>E \).

Nierówność \( n>E \) sugeruje, że należy przyjąć \( n_0 = [E] + 1 \), które jest liczbą naturalną większą od \( E \), czyli \( n>E \) dla \( n \geqslant n_0 \).

Aby wykazać, że \( - \infty \) jest granicą niewłaściwą ciągu \( (a_n) \) weźmiemy dowolną liczbę \( E>0 \) i wykażemy, że uda się znaleźć taką liczbę naturalną \( n_0 \), że dla wszystkich \( n \geqslant n_0 \) zachodzi nierówność \( a_n<-E \).

Nierówność \( -n <- E \) jest równoważna nierówności \( n > E \), czyli wykorzystujemy \( n_0 = [E] + 1 \) dobrane dla poprzedniego ciągu.


Wykaż, że \( \lim_{n \rightarrow \infty}⁡n^k=+ \infty \) dla \( k>0 \).

Rozwiązanie:

Dla dowolnie wybranego \( E>0 \) mamy znaleźć \( n_0 \in \mathbb{N} \), takie, że nierówność \( n^k>E \) jest spełniona dla wszystkich \( n \geqslant n_0 \) i \( k>0 \).

Zauważamy, że dla \( k>0 \) zachodzi \( n^k>E \Leftrightarrow n>E^{\frac{1}{k}} \), czyli dla \( n_0= [ E^{\frac{1}{k}} ] +1 \) i wszystkich \( n \geqslant n_0 \) zachodzi żądana nierówność \( n^k>E \).

Ciąg rozbieżny
Rysunek 3: Ciąg rozbieżny



Na Rys. 3 widzimy wykres ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów, większych od dowolnie wybranej liczby \( E>0 \), ale równocześnie ma też nieskończenie wiele wyrazów, które są mniejsze od liczby \( –E \). Wyrazy tego ciągu nie tylko nie lokalizują się wokół żadnej liczby rzeczywistej, ale również nie spełniają definicji ciągu rozbieżnego do \( + \infty \), ani do \( - \infty \). Taki ciąg nazywamy ciągiem rozbieżnym, albo ciągiem, który nie ma granicy.


Ciąg, który nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym.

Wykaż, że ciąg \( a_n=(-1)^n \) jest rozbieżny.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że ciąg \( (a_n) \) przyjmuje na zmianę wartości \( 1 \) albo \( -1 \).

Nie może to być ciąg rozbieżny do \( + \infty \), bo dla \( E=2 \) żaden wyraz ciągu nie jest większy od E i analogicznie nie może być rozbieżny do \( - \infty \), bo żaden wyraz ciągu nie jest mniejszy od \( -E \).

Żadna liczba rzeczywista g różna od \( 1 \) i \( -1 \) nie może też być granicą właściwą ciągu \( (a_n) \), bo jeżeli wybierzemy przedział \( (g- \varepsilon,g+ \varepsilon) \), który nie zawiera liczb \( 1 \) i \( -1 \), to nie zawiera też żadnego wyrazu naszego ciągu. Liczba \( 1 \) też nie może być granicą właściwą ciągu \( (a_n) \), ponieważ poza przedziałem \( (1- \varepsilon,1+ \varepsilon) \), który nie zawiera liczby \( -1 \) leży nieskończenie wiele wyrazów naszego ciągu. Analogicznie liczba \( -1 \) nie może być granicą właściwą ciągu \( (a_n) \).
Zatem ciąg \( (a_n) \) nie ma zarówno granicy właściwej, jak i niewłaściwej, czyli jest rozbieżny.



Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Czy masz już hasło?

Hasło powinno mieć przynajmniej 8 znaków, litery i cyfry oraz co najmniej jeden znak specjalny.

Przypominanie hasła

Wprowadź swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Ci informację o nowym haśle.
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
Wprowadzone hasło/login są błędne.